Олимпиадные задачи из источника «1966 год» для 4-8 класса - сложность 3-5 с решениями

Из набора гирь весом 1, 2, ..., 26 выделить шесть гирь так, чтобы среди них не было выбрать двух кучек равного веса. Доказать, что нельзя выбрать семь гирь, обладающих тем же свойством.

Сеть метро имеет на каждой линии не менее 4 станций, из них не более трёх пересадочных. Ни на какой пересадочной станции не скрещиваются более двух линий. Какое наибольшее число линий может иметь такая сеть, если с каждой станции на любую другую можно попасть, сделав не больше двух пересадок?

а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Доказать, что за 8 проверок всегда можно выделить оба радиоактивных шара.б) Из 11 шаров два радиоактивны. Доказать, что менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать нахождение обоих радиоактивных шаров,

а за 7 проверок их всегда можно обнаружить.

Дано: $$ a_1=1,a_k=\left[\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}\right].$$Найти $a_{1000}$. <b>Примечание.</b> $\left[A\right]$ — целая часть $A$.

Доказать, что те натуральные <i>K</i>, для которых  <i>K^K</i> + 1  делится на 30, образуют арифметическую прогрессию. Найти её.