Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 2 тур» для 4-7 класса - сложность 1-4 с решениями

Система точек, соединённых отрезками, называется "связной", если из каждой точки можно пройти в любую другую по этим отрезкам. Можно ли соединить пять точек в связную систему так, чтобы при стирании любого отрезка образовались ровно две связные системы точек, не связанные друг с другом? (Мы считаем, что в местах пересечения отрезков переход с одного из них на другой невозможен.)

Дан произвольный треугольник<i>ABC</i>и такая прямая<i>l</i>, пересекающая треугольник, что расстояние от неё до точки<i>A</i>равно сумме расстояний до этой прямой от точек<i>B</i>и<i>C</i>(причем<i>B</i>и<i>C</i>лежат по одну сторону от<i>l</i>). Доказать, что все такие прямые проходят через одну точку.

Завод выпускает погремушки в виде кольца с надетыми на него тремя красными и семью синими шариками. Сколько различных погремушек может быть выпущено? (Две погремушки считаются одинаковыми, если одна из них может быть получена из другой только передвижением шариков по кольцу и переворачиванием.)