Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 2 тур» для 11 класса - сложность 1-4 с решениями
9 класс, 2 тур
НазадДаны 2<sup>n</sup>конечных последовательностей из нулей и единиц, причём ни одна из них не является началом никакой другой. Доказать, что сумма длин этих последовательностей не меньше<i>n</i><sup> . </sup>2<sup>n</sup>.
Как надо расположить числа 1, 2, ..., 2<i>n</i> в последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>2<i>n</i></sub>, чтобы сумма |<i>a</i><sub>1</sub> – <i>a</i><sub>2</sub>| + |<i>a</i><sub>2</sub> – <i>a</i><sub>3</sub>| + ... + |<i>a</i><sub>2<i>n</i>–1</sub> – <i>a</i><sub>2<i>n</i></sub>| + |<i>a</i><sub>2<i>n</i></sub> – <i>a</i><sub>1</sub>| была наибольшей?
Школьник в течение учебного года должен решать ровно по 25 задач за каждые идущие подряд 7 дней. Время, необходимое на решение одной задачи (любой), не меняется в течение дня, но меняется в течение учебного года по известному школьнику закону и всегда меньше 45 минут. Школьник хочет затратить на решение задач в общей сложности наименьшее время. Доказать, что для этого он может выбрать некоторый день недели и в этот день (каждую неделю) решать по 25 задач.