Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 2 тур» для 6-10 класса - сложность 3 с решениями

На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

<i>ABC</i> – равнобедренный треугольник;  <i>AB = BC,  BH</i> – высота, <i>M</i> – середина стороны <i>AB, K</i> – точка пересечения <i>BH</i> с описанной окружностью треугольника <i>BMC</i>. Доказать, что  <i>BK</i> = ³/₂ <i>R</i>,  где <i>R</i> – радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.