Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 1 тур» для 8 класса - сложность 3 с решениями

На шахматной доске выбраны две клетки одинакового цвета.

Доказать, что ладья, начиная с первой, может обойти все клетки по разу, а на второй выбранной клетке побывать два раза.

Имеется 100 точек на плоскости, причём расстояние между любыми двумя из них не превосходит 1, и если<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>— любые три точки из данных, то треугольник<i>ABC</i>— тупоугольный. Доказать, что можно провести такую окружность радиуса 1/2, что все данные точки лежат внутри неё или на ней самой.

Дан остроугольный треугольник<i>A</i>₀<i>B</i>₀<i>C</i>₀. Пусть точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁— центры квадратов, построенных на сторонах<i>B</i>₀<i>C</i>₀,<i>C</i>₀<i>A</i>₀,<i>A</i>₀<i>B</i>₀. С треугольником<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁делаем то же самое. Получаем треуг...