Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур» для 2-11 класса - сложность 3 с решениями

Проекции многоугольника на ось<i>OX</i>, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось<i>OY</i>и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов равны соответственно 4, 3$\sqrt{2}$, 5, 4$\sqrt{2}$. Площадь многоугольника —<i>S</i>. Доказать, что<i>S</i>$\le$17, 5.

Доказать, что если уравнения с целыми коэффициентами  <i>x</i>² + <i>p</i>₁<i>x + q</i>₁,  <i>x</i>² + <i>p</i>₂<i>x + q</i>₂  имеют общий нецелый корень, то  <i>p</i>₁ = <i>p</i>₂  и  <i>q</i>₁ = <i>q</i>₂.

Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>O</i>. На лучах <i>OA</i>, <i>OB</i> и <i>OC</i> построены векторы единичной длины.

Доказать, что сумма этих векторов имеет длину, меньшую единицы.