Олимпиадные задачи из источника «1950 год» для 11 класса - сложность 2 с решениями
Можно ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что какие бы 8 маршрутов ни были взяты, найдётся остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки.
Имеется 81 гиря весом 1<sup>2</sup>г, 2<sup>2</sup>г, 3<sup>2</sup>г, ..., 81<sup>2</sup>г. Разложить их на 3 равные по весу кучи.
Пусть<i>A</i>— произвольный угол,<i>B</i>и<i>C</i>— острые углы. Всегда ли существует такой угол<i>X</i>, что<div align="CENTER"> sin <i>X</i> = $\displaystyle {\frac{\sin B\sin C}{1-\cos A\cos B\cos C}}$? </div>(Из `` Воображаемой геометрии'' Н. И. Лобачевского).