Олимпиадные задачи из источника «8 класс» для 5-6 класса - сложность 1-4 с решениями

На прямой через равные промежутки поставили десять точек, и они заняли отрезок длины <i>a</i>. На другой прямой через такие же промежутки поставили 100 точек, и они заняли отрезок длины <i>b</i>. Во сколько раз <i>b</i> больше <i>a</i>?

Пусть <i>m</i> и <i>n</i> – целые числа. Докажите, что  <i>mn</i>(<i>m + n</i>)  – чётное число.

На доске написаны числа

  а) 1, 2. 3, ..., 1997, 1998;

  б) 1, 2, 3, ..., 1998, 1999;

  в) 1, 2, 3, ..., 1999, 2000.

Разрешается стереть с доски любые два числа, заменив их разностью большего и меньшего. Можно ли, выполнив эту операцию много раз. получить на доске единственное число – 0? Если да, то как это сделать?

Доказать: произведение

  а) двух нечётных чисел нечётно;

  б) чётного числа с любым целым числом чётно.

Доказать: сумма

  а) любого количества чётных слагаемых чётна;

  б) чётного количества нечётных слагаемых чётна;

  в) нечётного количества нечётных слагаемых нечётна.

На хоккейном поле лежат три шайбы<i>А</i>,<i>В</i>и<i>С</i>. Хоккеист бьёт по одной из них так, что она пролетает между двумя другими. Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы оказаться на исходных местах?

Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все её звенья?

Конь вышел с поля a1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.