Олимпиадные задачи из источника «9. Инвариант» для 6-7 класса - сложность 1-3 с решениями

У племени семпоальтеков было 24 слитка золота, 26 редких жемчужин и 25 стеклянных бус. У Кортеса они могут обменять слиток золота и жемчужину на одни бусы, у Монтесумы – один слиток и одни бусы на одну жемчужину, а у тотонаков – одну жемчужину и одни бусы на один золотой слиток. После долгих обменов у семпоальтеков осталось только одна вещь. Какая?

В вершинах шестиугольника записаны числа 12, 1, 10, 6, 8, 3 (в таком порядке). За один ход разрешено выбрать две соседние вершины и к числам, стоящим в данных вершинах, одновременно прибавить единицу или одновременно вычесть из них единицу. Можно ли получить в итоге шесть чисел в таком порядке: а) 14, 6, 13, 4, 5, 2; б) 6, 17, 14, 3, 15, 2?

а) Из шахматной доски вырезали клетку a1. Можно ли то, что осталось, замостить доминошками 1×2?

б) Тот же вопрос, если вырезали две клетки a1 и h8.

в) Тот же вопрос, если вырезали клетки a1 и h1.

Миша написал на доске в некотором порядке 2004 плюса и 2005 минусов. Время от времени Юра подходит к доске, стирает любые два знака и пишет вместо них один, причём если он стёр одинаковые знаки, то вместо них он пишет плюс, а если разные, то минус. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?

См. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/173546">173546</a> а).

Кузнечик прыгает по прямой. В первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз – на 2 см и так далее.

Докажите, что после 1985 прыжков он не может оказаться там, где начинал.