Олимпиадные задачи из источника «2. Принцип Дирихле» - сложность 1-4 с решениями

На всех ребрах куба стоит по числу. На каждой грани (квадрате) пишется сумма четырех чисел, расположенных на ее ребрах (сторонах квадрата).  Расставьте числа 1 и -1 на ребрах так, чтобы все числа на гранях были различны.

На поле 10 на 10 для игры в "Морской Бой" стоит один четырехпалубный корабль. Какое минимальное число выстрелов надо произвести, чтобы наверняка его ранить?

Можно ли найти 57 различных двузначных чисел, чтобы сумма никаких двух из них не равнялась 100?

На плоскости нарисовано 12 прямых, проходящих через точку О. Докажите, что можно выбрать две из них так, что угол между ними будет меньше 17 градусов.

Занятия Вечерней Математической Школы проходят в девяти аудиториях. Среди прочих, на эти занятия приходят 19 учеников из одной и той же школы.   а) Докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в одной аудитории окажется не меньше трех таких школьников.   б) Верно ли, что в какой-нибудь аудитории обязательно окажется ровно три таких школьника?

Какое самое большое число ладей можно поставить на шахматную доску 8 на 8 так, чтобы они не били друг друга?