Олимпиадные задачи из источника «Чётность-3»

Отличник Поликарп купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Двоечник Колька вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. В ответе у Кольки получилось 2002. Не ошибся ли он?

Найти наибольшее значение, которое может принимать выражение  <i>aek – afh + bfg – bdk + cdh – ceg</i>,  если каждое из чисел <i>a, b, c, d, e, f, g, h, k</i> равно ±1.

Имеется таблица 1999×2001. Известно, что произведение чисел в каждой строке отрицательно.

Докажите, что найдётся столбец, произведение чисел в котором тоже отрицательно.

В вершинах <i>n</i>-угольника стоят числа 1 и –1. На каждой стороне написано произведение чисел на её концах. Оказалось, что сумма чисел на сторонах равна нулю. Доказать, что   a) <i>n</i> чётно;   б) <i>n</i> делится на 4.

По кругу расставлены нули и единицы (и те и другие присутствуют). Каждое число, у которого два соседа одинаковы, заменяют на ноль, а остальные числа – на единицы, и такую операцию проделывают несколько раз.

  a) Могут ли все числа стать нулями, если их 13 штук?   б) Могут ли все числа стать единицами, если их 14 штук?

В квадрате 25&times25 стоят числа 1 и –1. Вычислили все произведения этих чисел по строкам и по столбцам.

Доказать, что сумма этих произведений не равна нулю.

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?

<i>Магический квадрат</i> – это квадратная таблица, заполненная числами, в которой суммы чисел во всех строках и столбцах равны.