Олимпиадные задачи из источника «1991 год» для 10 класса - сложность 1-3 с решениями

Сумма <i>n</i> чисел равна нулю, а сумма их квадратов равна единице. Докажите, что среди этих чисел найдутся два, произведение которых не больше  – ¹/_<i>n</i>.

На прямоугольном экране размером <i>m</i>×<i>n</i>, разбитом на единичные клетки, светятся более  (<i>m</i> – 1)(<i>n</i> – 1)  клеток. Если в каком-либо квадрате 2×2 не светятся три клетки, то через некоторое время погаснет и четвёртая. Докажите, что тем не менее на экране всегда будет светиться хотя бы одна клетка.

Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₁₂ диагонали <i>A</i>₁<i>A</i>₅, <i>A</i>₂<i>A</i>₆, <i>A</i>₃<i>A</i>₈ и <i>A</i>₄<i>A</i>₁₁ пересекаются в одной точке.