Олимпиадные задачи из источника «выпуск 11» - сложность 1-4 с решениями

На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 километров.

Доказать, что сумма всех углов, на которые лев поворачивал, не меньше 2998 радиан.

В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

а) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это.б) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости?

Решите в натуральных числах уравнение  <i>n^x + n^y = n^z</i>.