Олимпиадные задачи из источника «выпуск 10» - сложность 1-3 с решениями
выпуск 10
Назада) Дан выпуклый многоугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i>. На стороне <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> взяты точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>D</i><sub>2</sub>, на стороне <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub> – точки <i>B</i><sub>2</sub> и <i>D</i><sub>3</sub>, ..., на стороне <i>A</i><sub><i>n</i></sub><i>A</i><sub>1</sub> – точки <i>B</i><sub><i>n</i></sub> и <i>D</i><sub&g...
а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.
В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа 1 и –1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят единицы. Разрешается изменять знак в любых <i>k</i> подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число –1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если а) <i>k</i> = 3; б) <i>k</i> = 4; в) <i>k</i> = 6.