Олимпиадные задачи из источника «параграф 9. Прямая Симсона» для 6-11 класса - сложность 5 с решениями
параграф 9. Прямая Симсона
Назада) Докажите, что проекции точки <i>P</i>описанной окружности четырехугольника <i>ABCD</i>на прямые Симсона треугольников <i>BCD</i>,<i>CDA</i>,<i>DAB</i>и <i>BAC</i>лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника). б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного <i>n</i>-угольника как прямую, содержащую проекции точки <i>P</i>на прямые Симсона всех (<i>n</i>- 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин <i>n</i>-угольника.
Четырехугольник <i>ABCD</i>вписан в окружность; <i>l</i><sub>a</sub> — прямая Симсона точки <i>A</i>относительно треугольника <i>BCD</i>, прямые <i>l</i><sub>b</sub>,<i>l</i><sub>c</sub>и <i>l</i><sub>d</sub>определяются аналогично. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.
Высоты треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>H</i>; <i>P</i> — точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>делит отрезок <i>PH</i>пополам.
Хорда <i>PQ</i>описанной окружности треугольника <i>ABC</i>перпендикулярна стороне <i>BC</i>. Докажите, что прямая Симсона точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>параллельна прямой <i>AQ</i>.
Точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и<i>P</i>лежат на окружности с центром<i>O</i>. Стороны треугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>параллельны прямым<i>PA</i>,<i>PB</i>,<i>PC</i>(<i>PA</i>|<i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>и т. д.). Через вершины треугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>проведены прямые, параллельные сторонам треугольника<i>ABC</i>. а) Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке<i>P</i&...
Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>P</i>и <i>Q</i>лежат на окружности с центром <i>O</i>, причем углы между вектором $\overrightarrow{OP}$и векторами $\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{OC}$и $\overrightarrow{OQ}$равны $\alpha$,$\beta$,$\gamma$и ($\alpha$+$\beta$+$\gamma$)/2. Докажите. что прямая Симсона точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>параллельна <i>OQ</i>.
Докажите, что прямые Симсона двух диаметрально противоположных точек описанной окружности треугольника <i>ABC</i>перпендикулярны, а их точка пересечения лежит на окружности девяти точек (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156958">5.106</a>).