Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Теорема Чевы» для 10-11 класса

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, причем прямые <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке <i>P</i>. Докажите, что прямые <i>AA</i>₂,<i>BB</i>₂и <i>CC</i>₂, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке <i>Q</i>.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$^.$\displaystyle {\frac{BA_1}{A_1C}}$^.$\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ACC_1}{\sin C_1CB}}$^.$\displaystyle {\frac{\sin BAA_1}{\sin A_1AC}}$^.$\displaystyle {\frac{\sin CBB_1}{\sin B_1BA}}$. </div>

Дан треугольник <i>ABC</i>. На прямых <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>взяты точки <i>C</i>₁,<i>A</i>₁и <i>B</i>₁, причем <i>k</i>из них лежат на сторонах треугольника и 3 -<i>k</i> — на продолжениях сторон. Пусть<div align="CENTER"> <i>R</i> = $\displaystyle {\frac{BA_1}{CA_1}}$^.$\displaystyle {\frac{CB_1}{AB_1}}$^.$\displaystyle {\frac{AC_1}{BC_1}}$. </div> Докажите, что: а) точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁лежат на одной прямой...