а) Эта задача является переформулировкой задачи 5.58, так как число $\overline{BA_1}$:$\overline{CA_1}$имеет знак минус, если точка A₁лежит на отрезке BC, и знак плюс, если она лежит вне отрезка BC. б) Предположим сначала, что прямые AA₁,BB₁и CC₁пересекаются в точке M. Любые три вектора плоскости линейно зависимы, т. е. существуют такие числа $\lambda$,$\mu$и $\nu$(не все равные нулю), что $\lambda$$\overrightarrow{AM}$+$\mu$$\overrightarrow{BM}$+$\nu$$\overrightarrow{CM}$= 0. Рассмотрим проекцию на прямую BCпараллельно прямой AM. При этой проекции точки Aи Mпереходят в A₁, а точки Bи Cпереходят сами в себя. Поэтому $\mu$$\overline{BA_1}$+$\nu$$\overline{CA_1}$= 0, т. е. $\overline{BA_1}$:$\overline{CA_1}$= -$\nu$:$\mu$. Аналогично $\overline{CB_1}$:$\overline{AB_1}$= -$\lambda$:$\nu$и $\overline{AC_1}$:$\overline{BC_1}$= -$\mu$:$\lambda$. Перемножая эти равенства, получаем требуемое. В случае, когда прямые AA₁,BB₁и CC₁параллельны, для доказательства достаточно заметить, что $\overline{BA_1}$:$\overline{CA_1}$=$\overline{BA}$:$\overline{C_1A}$и $\overline{CB_1}$:$\overline{AB_1}$=$\overline{C_1B}$:$\overline{AB}$. Предположим теперь, что выполняется указанное соотношение, и докажем, что тогда прямые AA₁,BB₁и CC₁пересекаются в одной точке. Пусть C₁ — точка пересечения прямой ABс прямой, проходящей через точку Cи точку пересечения прямых AA₁и BB₁. Для точки C₁выполняется такое же соотношение, как и для точки C₁. Поэтому $\overline{C_1^*A}$:$\overline{C_1^B}$=$\overline{C_1A}$:$\overline{C_1B}$. Следовательно, C₁=C₁, т. е. прямые AA₁,BB₁и CC₁пересекаются в одной точке. Можно проверить также, что если выполняется указанное соотношение и две из прямых AA₁,BB₁и CC₁параллельны, то третья прямая им параллельна.

Ответ задачи отсутствует