Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Вспомогательная площадь» для 3-9 класса - сложность 1-3 с решениями

Расстояния от точки <i>X</i>стороны <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>до прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>равны <i>d</i>_bи <i>d</i>_c. Докажите, что <i>d</i>_b/<i>d</i>_c=<i>BX</i>^.<i>AC</i>/(<i>CX</i>^.<i>AB</i>).

Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

Дан выпуклый многоугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_n. На стороне <i>A</i>₁<i>A</i>₂взяты точки <i>B</i>₁и <i>D</i>₂, на стороне <i>A</i>₂<i>A</i>₃ — точки <i>B</i>₂и <i>D</i>₃и т. д. таким образом, что если построить параллелограммы <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁,...

Даны (2<i>n</i>- 1)-угольник <i>A</i>₁...<i>A</i>_{2n - 1}и точка <i>O</i>. Прямые <i>A</i>_k<i>O</i>и <i>A</i>_{n + k - 1}<i>A</i>_{n + k}пересекаются в точке <i>B</i>_k. Докажите, что произведение отношений <i>A</i>_{n + k - 1}<i>B</i>_k/<i>A</i>_{n + k}<i>B</i>_k(<i>k</i>= 1,...,<i>n</i>) равно 1.

Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>O</i>; прямые <i>AO</i>,<i>BO</i>и <i>CO</i>пересекают его стороны в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что: а) ${\frac{OA_1}{AA_1}}$+${\frac{OB_1}{BB_1}}$+${\frac{OC_1}{CC_1}}$= 1; б) ${\frac{AC_1}{C_1B}}$^.${\frac{BA_1}{A_1C}}$^.${\frac{CB_1}{B_1A}}$= 1.

Докажите, что длина биссектрисы <i>AD</i>треугольника <i>ABC</i>равна ${\frac{2bc}{b+c}}$cos${\frac{\alpha }{2}}$.

Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой произвольно внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна (и равна высоте треугольника).