Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части» для 6-10 класса - сложность 4-5 с решениями

Кривая $\Gamma$делит квадрат на две части равной площади. Докажите, что на ней можно выбрать две точки <i>A</i>и <i>B</i>так, что прямая <i>AB</i>проходит через центр <i>O</i>квадрата.

Точки <i>A</i>и <i>B</i>окружности <i>S</i>₁соединены дугой окружности <i>S</i>₂, делящей площадь круга, ограниченного <i>S</i>₁, на равные части. Докажите, что дуга <i>S</i>₂, соединяющая <i>A</i>и <i>B</i>, по длине больше диаметра <i>S</i>₁.

Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.

Прямая <i>l</i> делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что эта прямая делит проекцию данного многоугольника на прямую, перпендикулярную <i>l</i>, в отношении, не превосходящем  1 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/56788/problem_56788_img_2.gif">.