Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Пучки коник» для 6-11 класса - сложность 2 с решениями

Пусть коники$\Gamma$и$\Gamma_{1}^{}$касаются в точках<i>A</i>и<i>B</i>, a коники$\Gamma$и$\Gamma_{2}^{}$касаются в точках<i>C</i>и<i>D</i>, причем$\Gamma_{1}^{}$и$\Gamma_{2}^{}$имеют четыре общие точки. Тогда у коник$\Gamma_{1}^{}$и$\Gamma_{2}^{}$есть пара общих хорд, проходящих через точку пересечения прямых<i>AB</i>и<i>CD</i>.

Докажите следующие свойства коники Г из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158525">31.058</a>: а) Г проходит через 6 середин отрезков, соединяющих пары данных точек, и через 3 точки пересечения прямых, соединяющих пары данных точек. б) Центр Г совпадает с центром масс точек A, B, C и D. в) Если D — точка пересечения высот треугольника ABC, то Г — окружность девяти точек этого треугольника. д) Если четырехугольник ABCD вписанный, то Г — гипербола с перпендикулярными асимптотами. В этом случае оси всех коник пучка параллельны асимптотам Г.

Докажите, что центры коник, проходящих через точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и<i>D</i>, образуют конику $\Gamma$.

Две коники имеют 4 общих точки. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда оси коник перпендикулярны.

Докажите, что любая гипербола, проходящая через вершины треугольника<i>ABC</i>и точку пересечения его высот, является гиперболой с перпендикулярными асимптотами.

Пусть стороны самопересекающихся четырехугольников<i>KLMN</i>и<i>K'L'M'N'</i>, вписанных в одну и ту же окружность, пересекают хорду<i>AB</i>этой окружности в точках<i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i>,<i>S</i>и<i>P'</i>,<i>Q'</i>,<i>R'</i>,<i>S'</i>соответственно (сторона<i>KL</i> — в точке<i>P</i>,<i>LM</i> — в точке<i>Q</i>, и т. д.). Докажите, что если три из точек<i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i>,<i>S</i>совпадают с соответственными тремя из точек<i>P'</i>,<i>Q'</i>,<i>R'</i>,<i>S&#...

Пусть хорды<i>KL</i>и<i>MN</i>проходят через середину<i>O</i>хорды<i>AB</i>. Докажите, что прямые<i>KN</i>и<i>ML</i>пересекают прямую<i>AB</i>в точках, равноудаленных от точки <i>O</i>.

а) Пусть точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>,<i>E</i>и<i>F</i>лежат на одной конике. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников<i>ABCDEF</i>,<i>ADEBCF</i>и<i>ADCFEB</i>пересекаются в одной точке (Штейнер). б) Пусть точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>,<i>E</i>и<i>F</i>лежат на одной окружности. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников<i>ABFDCE</i>,<i>AEFBDC</i>и<i>ABDFEC</i>пересекаются в одной точке (Киркман).

Пусть точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и<i>D</i>лежат на конике, заданной уравнением второй степени<i>f</i>= 0. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>f</i> = $\displaystyle \lambda$<i>l</i>_AB<i>l</i>_CD + $\displaystyle \mu$<i>l</i>_BC<i>l</i>_AD, </div>где$\lambda$и$\mu$ — некоторые числа.