Задача
Докажите следующие свойства коники Г из задачи 31.058: а) Г проходит через 6 середин отрезков, соединяющих пары данных точек, и через 3 точки пересечения прямых, соединяющих пары данных точек. б) Центр Г совпадает с центром масс точек A, B, C и D. в) Если D — точка пересечения высот треугольника ABC, то Г — окружность девяти точек этого треугольника. д) Если четырехугольник ABCD вписанный, то Г — гипербола с перпендикулярными асимптотами. В этом случае оси всех коник пучка параллельны асимптотам Г.
Решение
а) Пусть точкиC'иD'симметричны точкамCиDотносительно серединыMотрезкаAB. Тогда точкиA,B,C,D,C',D'лежат на одной конике с центромM, поэтомуM$\in$Г. ПустьO— точка пересечения прямыхABиCD. ТочкаOслужит центром вырожденной коники, состоящей из пары прямыхABи CD. ПоэтомуO$\in$Г. б) Середины сторон четырехугольникаABCDобразуют параллелограмм, центр которого совпадает с центром масс точекA,B,C,D. Этот параллелограмм вписан в конику Г, поэтому его центр совпадает с центром коники. в) Следует из а). г) Фиксируем в рассматриваемом пучке коник одну конику, отличную от окружности и параболы. Из задачи 31.057следует, что оси всех остальных коник будут перпендикулярны осям фиксированной коники. (Оси коники взаимно перпендикулярны, поэтому оси всех остальных коник параллельны осям фиксированной коники.) Среди коник пучка есть эллипс и есть гиперболы двух разных типов: ветвь гиперболы, содержащая точкуA, может содержать либо точкуB, либо точкуD. Поэтому среди коник пучка есть две параболы, причем их оси взаимно перпендикулярны. Центрами этих двух парабол служат бесконечно удаленные точки двух взаимно перпендикулярных направлений.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь