Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Окружности, вписанные в сегмент» для 1-8 класса - сложность 1-3 с решениями

Две окружности, вписанные в сегмент <i>AB</i> данной окружности, пересекаются в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Докажите, что прямая <i>MN</i> проходит через середину <i>C</i> дополнительной дуги данного сегмента <i>AB</i>.

Из точки <i>D</i>окружности <i>S</i>опущен перпендикуляр <i>DC</i>на диаметр <i>AB</i>. Окружность <i>S</i>₁касается отрезка <i>CA</i>в точке <i>E</i>, а также отрезка <i>CD</i>и окружности <i>S</i>. Докажите, что <i>DE</i> — биссектриса треугольника <i>ADC</i>.

Хорда <i>AB</i>разбивает окружность <i>S</i>на две дуги. Окружность <i>S</i>₁касается хорды <i>AB</i>в точке <i>M</i>и одной из дуг в точке <i>N</i>. Докажите, что: а) прямая <i>MN</i>проходит через середину <i>P</i>второй дуги; б) длина касательной <i>PQ</i>к окружности <i>S</i>₁равна <i>PA</i>.