Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Разные задачи» для 6-10 класса - сложность 4-5 с решениями

Докажите, что для любого <i>n</i>существует окружность, на которой лежит ровно <i>n</i>целочисленных точек.

Докажите, что для любого <i>n</i>существует окружность, внутри которой лежит ровно <i>n</i>целочисленных точек.

На бесконечном листе клетчатой бумаги <i>N</i>клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате <i>K</i>площадь черных клеток составит не менее  1/5 и не более  4/5 площади <i>K</i>.