Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Площадь» для 2-10 класса - сложность 2-4 с решениями

В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся

  а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ³/₂₀;

  б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ⅕;

  в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше ¹/₂₀.

   а) В квадрате площади 6 расположены три многоугольника площади 3. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника, площадь общей части которых не меньше 1.    б) В квадрате площади 5 расположено девять многоугольников площади 1. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника, площадь общей части которых не меньше¹/₉.

На плоскости дано <i>n</i> фигур. Пусть <i>S</i>_{<i>i</i>₁...<i>i_k</i>} – площадь пересечения фигур с номерами <i>i</i>₁, ..., <i>i_k</i>, a <i>S</i> – площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; <i>M_k</i> – сумма всех чисел <i>S</i>_{<i>i</i>₁...<i>i_k</i>}. Докажите, что:

  а)  <i>S</i> = <i>M</i>₁ – <i>M</i>₂ + <i>M</i>₃ – ... + (–1)&l...

Назовем крестом фигуру, образованную диагоналями квадрата со стороной 1 (рис.). Докажите, что в круге радиуса 100 можно разместить лишь конечное число непересекающихся крестов. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/58103/problem_58103_img_2.gif" border="1"></div>

Дана бесконечная клетчатая бумага и фигура, площадь которой меньше площади клетки. Докажите, что эту фигуру можно положить на бумагу, не накрыв ни одной вершины клетки.

В квадрате со стороной 15 расположено 20 попарно непересекающихся квадратиков со стороной 1. Докажите, что в большом квадрате можно разместить круг радиуса 1 так, чтобы он не пересекался ни с одним из квадратиков.