Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Площадь» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями
параграф 3. Площадь
НазадВ прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся
а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше <sup>3</sup>/<sub>20</sub>;
б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ⅕;
в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше <sup>1</sup>/<sub>20</sub>.
На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся отрезки, сумма длин которых равна<i>p</i>. Обозначим эту систему отрезков<i>A</i>. Пусть<i>B</i> — дополнительная система отрезков (отрезки систем<i>A</i>и<i>B</i>не имеют общих внутренних точек и полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует параллельный перенос<i>T</i>, для которого пересечение<i>B</i>и<i>T</i>(<i>A</i>) состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше<i>p</i>(1 -<i>p</i>)/2.
На плоскости дано <i>n</i> фигур. Пусть <i>S</i><sub><i>i</i><sub>1</sub>...<i>i<sub>k</sub></i></sub> – площадь пересечения фигур с номерами <i>i</i><sub>1</sub>, ..., <i>i<sub>k</sub></i>, a <i>S</i> – площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; <i>M<sub>k</sub></i> – сумма всех чисел <i>S</i><sub><i>i</i><sub>1</sub>...<i>i<sub>k</sub></i></sub>. Докажите, что:
а) <i>S</i> = <i>M</i><sub>1</sub> – <i>M</i><sub>2</sub> + <i>M</i><sub>3</sub> – ... + (–1)&l...
Попарные расстояния между точками<i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>больше 2. Докажите, что любую фигуру, площадь которой меньше$\pi$, можно сдвинуть на вектор длиной не более 1 так, что она не будет содержать точек<i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>.