Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Конечное число точек, прямых и т.д.» для 4-8 класса - сложность 4 с решениями

Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные${\frac{1}{1965}}$части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать, что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20 красных секторов.

Внутри выпуклого 2<i>n</i>-угольника взята точка <i>P</i>. Через каждую вершину и точку <i>P</i>проведена прямая. Докажите, что найдется сторона 2<i>n</i>-угольника, с которой ни одна из проведенных прямых не имеет общих внутренних точек.

В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялось следующее условие: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.