Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Четыре точки, лежащие на одной окружности» для 9-11 класса - сложность 1-3 с решениями

Продолжения сторон <i>AB</i>и <i>CD</i>вписанного четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>P</i>, а продолжения сторон <i>BC</i>и <i>AD</i> — в точке <i>Q</i>. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов <i>AQB</i>и <i>BPC</i>со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба.

Диагонали трапеции <i>ABCD</i>с основаниями <i>AD</i>и <i>BC</i>пересекаются в точке <i>O</i>; точки <i>B'</i>и <i>C'</i>симметричны вершинам <i>B</i>и <i>C</i>относительно биссектрисы угла <i>BOC</i>. Докажите, что $\angle$<i>C'AC</i>=$\angle$<i>B'DB</i>.

Из произвольной точки <i>M</i>катета <i>BC</i>прямоугольного треугольника <i>ABC</i>на гипотенузу <i>AB</i>опущен перпендикуляр <i>MN</i>. Докажите, что $\angle$<i>MAN</i>=$\angle$<i>MCN</i>.