Олимпиадные задачи из источника «глава 14. Центр масс» для 10 класса - сложность 4 с решениями
Найдите трилинейные координаты точек Брокара.
Найдите уравнение описанной окружности треугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>в барицентрических координатах.
Пусть <i>M</i> — центр масс треугольника<i>ABC</i>,<i>X</i> — произвольная точка. На прямых<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>так, что<i>A</i><sub>1</sub><i>X</i>|<i>AM</i>,<i>B</i><sub>1</sub><i>X</i>|<i>BM</i>и <i>C</i><sub>1</sub><i>X</i>|<i>CM</i>. Докажите, что центр масс <i>M</i><sub>1</sub>треугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i>...
а) Вычислите барицентрические координаты точки Нагеля<i>N</i>. б) Пусть<i>N</i>— точка Нагеля,<i>M</i>— центр масс,<i>I</i>— центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что$\overrightarrow{NM}$= 2$\overrightarrow{MI}$; в частности точка<i>N</i>лежит на прямой<i>MI</i>.
Три мухи равной массы ползают по сторонам треугольника так, что их центр масс остается на месте. Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан треугольника<i>ABC</i>, если известно, что одна муха проползла по всей границе треугольника.