Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Теорема о группировке масс» для 1-11 класса - сложность 5 с решениями

На прямой<i>AB</i>взяты точки <i>P</i>и <i>P</i>₁, а на прямой<i>AC</i>взяты точки <i>Q</i>и <i>Q</i>₁. Прямая, соединяющая точку <i>A</i>с точкой пересечения прямых<i>PQ</i>и <i>P</i>₁<i>Q</i>₁, пересекает прямую<i>BC</i>в точке <i>D</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}}$ = $\displaystyle {\frac{(\overline{BP}/\overline{PA})-(\overline{BP_1}/ \overline{P_1A})}{(\overline{CQ}/\overline{QA})-(\overline{CQ_1}/\overline{Q_1A})}}$. </div>

На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁; прямые<i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекают прямую<i>AA</i>₁в точках <i>M</i>,<i>P</i>и <i>Q</i>соответственно. Докажите, что: а)<i>A</i>₁<i>M</i>/<i>MA</i>= (<i>A</i>₁<i>P</i>/<i>PA</i>) + (<i&...

На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, причем отрезки<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в точке <i>P</i>. Пусть<i>l</i>_a,<i>l</i>_b,<i>l</i>_c — прямые, соединяющие середины отрезков<i>BC</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>CA</i>и <i>C</i><sub>...

На прямых $BC$, $CA$, $AB$ взяты точки $A_1$ и $A_2$, $B_1$ и $B_2$, $C_1$ и $C_2$ так, что $A_1B_2| AB$, $B_1C_2| BC$, $C_1A_2| CA$. Пусть $\ell_a$ — прямая, соединяющая точки пересечения прямых $BB_1$ и $CC_2$, $BB_2$ и $CC_1$; прямые $\ell_b$ и $\ell_c$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $\ell_a$, $\ell_b$ и $\ell_c$ пересекаются в одной точке (или параллельны).