Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Основные свойства центра масс» для 1-9 класса - сложность 1-2 с решениями

Докажите, что центр масс точек <i>A</i>и <i>B</i>с массами <i>a</i>и <i>b</i>лежит на отрезке<i>AB</i>и делит его в отношении<i>b</i>:<i>a</i>.

Докажите, что центр масс системы точек<i>X</i>₁,...,<i>X</i>_n,<i>Y</i>₁,...,<i>Y</i>_mс массами<i>a</i>₁,...,<i>a</i>_n,<i>b</i>₁,...,<i>b</i>_mсовпадает с центром масс двух точек — центра масс <i>X</i>первой системы с массой<i>a</i>₁+...+<i>a</i>_nи центра масс <i>Y</i>второй системы с массой<i>b</i>₁+...+<i>b</i>_m.

а) Докажите, что центр масс существует и единствен для любой системы точек. б) Докажите, что если <i>X</i> — произвольная точка, а <i>O</i> — центр масс точек<i>X</i>₁,...,<i>X</i>_nс массами<i>m</i>₁,...,<i>m</i>_n, то$\overrightarrow{XO}$=${\frac{1}{m_1+\ldots+m_n}}$(<i>m</i>₁$\overrightarrow{XX_1}$+...+<i>m</i>_n$\overrightarrow{XX_n}$).