Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Медианы» для 1-11 класса - сложность 2-5 с решениями
параграф 1. Медианы
НазадПусть <i>x</i>=<i>ab</i>+<i>bc</i>+<i>ca</i>,<i>x</i><sub>1</sub>=<i>m</i><sub>a</sub><i>m</i><sub>b</sub>+<i>m</i><sub>b</sub><i>m</i><sub>c</sub>+<i>m</i><sub>c</sub><i>m</i><sub>a</sub>. Докажите, что 9/20 <<i>x</i><sub>1</sub>/<i>x</i>< 5/4.
Докажите, что |<i>a</i><sup>2</sup>-<i>b</i><sup>2</sup>|/(2<i>c</i>) <<i>m</i><sub>c</sub>$\leq$(<i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>)/(2<i>c</i>).
а) Докажите, что <i>m</i><sub>a</sub><sup>2</sup>+<i>m</i><sub>b</sub><sup>2</sup>+<i>m</i><sub>c</sub><sup>2</sup>$\leq$27<i>R</i><sup>2</sup>/4. б) Докажите, что <i>m</i><sub>a</sub>+<i>m</i><sub>b</sub>+<i>m</i><sub>c</sub>$\leq$9<i>R</i>/2.
а) Докажите, что если <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины сторон произвольного треугольника, то <i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>$\geq$<i>c</i><sup>2</sup>/2. б) Докажите, что <i>m</i><sub>a</sub><sup>2</sup>+<i>m</i><sub>b</sub><sup>2</sup>$\geq$9<i>c</i><sup>2</sup>/8.
Периметры треугольников <i>ABM</i>,<i>BCM</i>и <i>ACM</i>, где <i>M</i> — точка пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>, равны. Докажите, что треугольник <i>ABC</i>правильный.
Медианы <i>AA</i><sub>1</sub>и <i>BB</i><sub>1</sub>треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что если четырехугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>MB</i><sub>1</sub><i>C</i>описанный, то <i>AC</i>=<i>BC</i>.