Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Отрезки, заключенные между параллельными прямыми» для 9 класса - сложность 3 с решениями

На сторонах <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> взяты соответственно точки <i>P, Q, R</i> и <i>S</i>б  O – точка пересечения отрезков <i>PR</i> и <i>QS</i>.

Докажите,что если  <i>AP</i> : <i>AB = DR</i> : <i>DC</i>  и  <i>AS</i> : <i>AD = BQ</i> : <i>BC</i>,  то и  <i>SO</i> : <i>SQ = AP</i> : <i>AB</i>,  <i>PQ</i> : <i>PR = AS</i> : ;<i>AD</i>.

На продолжениях оснований <i>AD</i> и <i>BC</i> трапеции <i>ABCD</i> за точки <i>A</i> и <i>C</i> взяты точки <i>K</i> и <i>L</i>. Отрезок <i>KL</i> пересекает стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>, а диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> в точках <i>O</i> и <i>P</i>. Докажите, что если  <i>KM = NL</i>,  то  <i>KO = PL</i>.