Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Делимость и остатки» для 9 класса - сложность 1 с решениями

Найдите наименьшее натуральное значение <i>n</i>, при котором число <i>n</i>! делится на 990.

Докажите, что если число  <i>n</i>! + 1  делится на  <i>n</i> + 1,  то  <i>n</i> + 1  – простое число.

а)  <i>a</i> + 1  делится на 3. Докажите, что  4 + 7<i>a</i>  делится на 3.б)  2 + <i>a</i>  и  35 – <i>b</i>  делятся на 11. Докажите, что  <i>a + b</i>  делится на 11.

Найдите последнюю цифру числа 2⁵⁰.

Найдите последнюю цифру числа 1989¹⁹⁸⁹.

Сумма трёх натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9.

Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.

Три простых числа <i>p, q</i> и <i>r</i>, большие 3, образуют арифметическую прогрессию:  <i>q = p + d,  r = p</i> + 2<i>d</i>.  Докажите, что <i>d</i> делится на 6.

Натуральные числа <i>x, y, z</i> таковы, что  <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>z</i>².  Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

а) Докажите, что  <i>p</i>² – 1  делится на 24, если <i>p</i> – простое число и  <i>p</i> > 3.

б) Докажите, что  <i>p</i>² – <i>q</i>²  делится на 24, если <i>p</i> и <i>q</i> – простые числа, большие 3.

Докажите, что  <i>n</i>³ – <i>n</i>  делится на 24 при любом нечётном <i>n</i>.

На сколько нулей оканчивается число 100!?

Может ли <i>n</i>! оканчиваться ровно на пять нулей?