Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Делимость и остатки» для 7 класса - сложность 1 с решениями

а)  <i>a</i> + 1  делится на 3. Докажите, что  4 + 7<i>a</i>  делится на 3.б)  2 + <i>a</i>  и  35 – <i>b</i>  делятся на 11. Докажите, что  <i>a + b</i>  делится на 11.

Найдите остаток от деления 3¹⁹⁸⁹ на 7.

Найдите остаток от деления 2¹⁰⁰ на 3.

Найдите последнюю цифру числа 2⁵⁰.

Найдите последнюю цифру числа 1989¹⁹⁸⁹.

Сумма трёх натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9.

Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.

Натуральные числа <i>x, y, z</i> таковы, что  <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>z</i>².  Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

а) Докажите, что  <i>p</i>² – 1  делится на 24, если <i>p</i> – простое число и  <i>p</i> > 3.

б) Докажите, что  <i>p</i>² – <i>q</i>²  делится на 24, если <i>p</i> и <i>q</i> – простые числа, большие 3.

Докажите, что  <i>n</i>³ – <i>n</i>  делится на 24 при любом нечётном <i>n</i>.

Докажите, что  <i>n</i>² + 1  не делится на 3 ни при каком натуральном <i>n</i>.

Докажите, что  <i>n</i>⁵ + 4<i>n</i>  делится на 5 при любом натуральном <i>n</i>.

Докажите, что  <i>n</i>³ + 2<i>n</i>  делится на 3 для любого натурального <i>n</i>.

Найдите остатки от деления

  а)  1989·1990·1991 + 1992²  на 7;

  б) 9¹⁰⁰ на 8.

Докажите, что для любых натуральных чисел <i>a</i> и <i>b</i> верно равенство  НОД(<i>a, b</i>)НОК(<i>a, b</i>) = <i>ab</i>.

Решите в натуральных числах уравнение:

  а)  <i>x</i>² – <i>y</i>² = 31;

  б)  <i>x</i>² – <i>y</i>² = 303.

Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нем все цифры на буквы, причём одинаковые цифры – на одинаковые буквы, а разные – на разные. В итоге у него получилось  АБ×ВГ = ДДЕЕ.  Докажите, что он где-то ошибся.

На сколько нулей оканчивается число 100!?

Может ли <i>n</i>! оканчиваться ровно на пять нулей?

Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится   а) на 30;   б) на 120.

Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.

Пусть <i>p</i> и <i>q</i> – различные простые числа. Сколько делителей у числа

  а)  <i>pq</i>;

  б)  <i>p</i>²<i>q</i>;

  в)  <i>p</i>²<i>q</i>²;

  г)  <i>p^mqⁿ</i>?