Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Делимость и остатки» для 10 класса - сложность 2 с решениями

<i>x, y, z</i> – натуральные числа, причём  <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>z</i>².  Докажите, что <i>xy</i> делится на 12.

Докажите, что число 10...050...01 (в каждой из двух групп по 100 нулей) не является кубом целого числа.

<i>p</i> и  8<i>p</i>² + 1  – простые числа. Найдите <i>p</i>.

Докажите, что  2222⁵⁵⁵⁵ + 5555²²²²  делится на 7.

Решите в целых числах уравнение:  <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> – 3 = 0.