Олимпиадные задачи из источника «глава 16. Неравенства» для 8-9 класса - сложность 2 с решениями

Докажите, что если   <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ ... ≥ <i>a_n</i>,   <i>b</i>₁ ≥ <i>b</i>₂ ≥ ... ≥ <i>b_n</i>,   то наибольшая из сумм вида   <i>a</i>₁<i>b</i>_<i>k</i>₁ + <i>a</i>₂<i>b</i>_<i>k</i>₂ + ... + <i>a_nb_{k_n}</i>     (<i>k</i>₁, <i>k</i><sub>2&lt...

Докажите неравенство   (<i>a + b + c + d</i> + 1)² ≥ 4(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>²)  при  <i>a, b, c, d</i> ∈ [0, 1].

При каких натуральных <i>n</i> выполняется неравенство  2<i>ⁿ ≥ n</i>³?

<i>n</i> – натуральное число,  <i>n</i> ≥ 4.  Докажите, что  <i>n</i>! ≥ 2^<i>n</i>.

<i>x</i> ≥ –1, <i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   (1 + <i>x</i>)^<i>n</i> ≥ 1 + <i>nx</i>.

<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30898/problem_30898_img_2.gif">

<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   <img width="318" height="52" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30897/problem_30897_img_2.gif">

<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   <img width="248" height="52" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30896/problem_30896_img_2.gif">

Докажите, что при  <i>n</i> ≥ 3  выполняется неравенство  <img width="226" height="52" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30895/problem_30895_img_2.gif">

<i>a, b, c</i> ≥ 0.  Докажите, что  2(<i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³) ≥ <i>a</i>²<i>b + ab</i>² + <i>a</i>²<i>c + ac</i>² + <i>b</i>²<i>c + bc</i>².

<i>x, y</i> > 0.  Докажите, что   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30888/problem_30888_img_2.gif">

Докажите, что   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30887/problem_30887_img_2.gif">   при любых <i>x</i> и <i>y</i>.

<i>k, l, m</i> – натуральные числа. Докажите, что  2^<i>k+l</i> + 2^<i>k+m</i> + 2^<i>l+m</i> ≤ 2^{<i>k+l+m</i>+1} + 1.

Докажите неравенство   ¼ <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² ≥ <i>ab – ac</i> + 2<i>bc</i>  при любых <i>a, b, c</i>.

<i>a + b</i> = 1.  Каково максимальное значение величины <i>ab</i>?

Докажите, что при  <i>x</i> ≥ 0  имеет место неравенство   3<i>x</i>³ – 6<i>x</i>² + 4 ≥ 0.

<i>a, b, c</i> – положительные числа. Докажите, что   <img width="113" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30872/problem_30872_img_2.gif">

<i>a, b, c, d</i> – положительные числа. Докажите, что   <img width="286" height="56" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30871/problem_30871_img_2.gif">

Докажите, что  <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ + 8 ≥ 8<i>xy</i>  при любых <i>x</i> и <i>y</i>.

Докажите, что при любых <i>a, b, c</i> имеет место неравенство  <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴ ≥ <i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).

Докажите, что  <i>x</i>² + <i>y</i>² + 1 ≥ <i>xy + x + y</i>  при любых <i>x</i> и <i>y</i>.

<i>a, b, c</i> ≥ 0.  Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/30867/problem_30867_img_2.gif">.

<i>a, b, c</i> ≥ 0.  Докажите, что  (<i>a + b</i>)(<i>a + c</i>)(<i>b + c</i>) ≥ 8<i>abc</i>.

Что больше:  (1,01)¹⁰⁰⁰или 1000?

Что больше:  ^1234567/_7654321  или  ^1234568/_7654322?