Олимпиадные задачи из источника «глава 15. Системы счисления» - сложность 3-5 с решениями

Докажите, что из набора 0, 1, 2, ...,  ½ (3^<i>k</i> – 1)  можно выбрать 2^<i>k</i> чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других выбранных чисел.

Докажите, что из набора 0, 1, 2, ...,  3^<i>k</i> – 1  можно выбрать 2^<i>k</i> чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других выбранных чисел.

Кащей Бессмертный загадывает три двузначных числа:<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>. Иван Царевич должен назвать ему три числа:<i>X</i>,<i>Y</i>,<i>Z</i>, после чего Кащей сообщит ему сумму<i>aX</i> + <i>bY</i> + <i>cZ</i>. Царевич должен отгадать задуманные числа, иначе ему отрубят голову. Как ему спастись?

Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть на обе чашки весов?

Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть только на одну чашку весов?

Сформулируйте (и докажите) условие, позволяющее определить четность числа по его записиа) в троичной системе счисления;б) в системе счисления с основанием <i>n</i>.