Олимпиадные задачи из источника «глава 13. Графы-2» для 1-11 класса - сложность 3 с решениями

В некотором государстве 101 город. а) Каждый город соединен с каждым из остальных дорогой с односторонним движением, причём в каждый город входит 50 дорог и из каждого города выходит 50 дорог. Докажите, что из каждого города можно доехать в любой другой, проехав не более чем по двум дорогам. б) Некоторые города соединены дорогами с односторонним движением, причём в каждый город входит 40 дорог и из каждого города выходит 40 дорог. Докажите, что из каждого города можно добраться до любого другого, проехав не более чем по трём дорогам.

20 команд сыграли круговой турнир по волейболу.

Докажите, что команды можно занумеровать числами от 1 до 20 так, что 1-я команда выиграла у 2-й, 2-я – у 3-й, ..., 19-я – у 20-й.

В одном государстве 100 городов и каждый соединён с каждым дорогой с односторонним движением. Докажите, что можно поменять направление движения не более чем на одной дороге так, чтобы от каждого города можно было доехать до любого другого.

В некоторой стране каждый город соединён с каждым дорогой с односторонним движением.

Докажите, что найдётся город, из которого можно добраться в любой другой.

На ребрах связного графа расставлены стрелки так, что для каждой вершины числа входящих и выходящих рёбер равны.

Докажите, что двигаясь по стрелкам, можно добраться от каждой вершины до любой другой.

В связном графе степени всех вершин чётны. Докажите, что на рёбрах этого графа можно расставить стрелки так, чтобы выполнялись следующие условия:

  а) двигаясь по стрелкам, можно добраться от каждой вершины до любой другой;

  б) для каждой вершины числа входящих и выходящих рёбер равны.

Каждое из рёбер полного графа с 18 вершинами покрашено в один из двух цветов.

Докажите, что есть четыре вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

Каждое из рёбер полного графа с 9 вершинами покрашено в синий или красный цвет.

Докажите, что либо есть четыре вершины, все рёбра между которыми – синие, либо есть три вершины, все рёбра между которыми – красные.

Каждое из рёбер полного графа с 17 вершинами покрашено в один из трёх цветов. Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

В некоторой стране каждые два города соединены либо авиалинией, либо железной дорогой. Докажите, что

  а) можно выбрать вид транспорта так, чтобы от каждого города можно было добраться до любого другого, пользуясь только этим видом транспорта;

 б) из некоторого города, выбрав один из видов транспорта, можно добраться до любого другого города не более чем с одной пересадкой (пользоваться можно только выбранным видом транспорта);

  в) каждый город обладает свойством из пункта б);

  г) можно выбрать вид транспорта так, чтобы пользуясь только им, можно было добраться из каждого города до любого другого не более чем с двумя пересадками.

<i>Расстоянием</i> между двумя произвольными вершинами дерева будем называть длину простого пути, соединяющего их. <i>Удалённостью</i> вершины дерева назовём сумму расстояний от неё до всех остальных вершин. Докажите, что в дереве, у которого есть две вершины с удалённостями, отличающимися на 1, нечётное число вершин.

Каждый из 102 учеников одной школы знаком не менее чем с 68 другими.

Докажите, что среди них найдутся четверо, имеющие одинаковое число знакомых.

Можно ли составить решётку, изображённую на рисунке

  а) из пяти ломаных длины 8?

  б) из восьми ломаных длины 5?

(Длина стороны клетки равна 1.) <div align="center"><img width="113" height="113" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/30807/problem_30807_img_2.gif"> </div>

Докажите, что связный граф, имеющий не более двух нечётных вершин, можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз.

Семиугольник разбит на выпуклые пяти- и шестиугольники, причём так, что каждая его вершина является вершиной по крайней мере двух многоугольников разбиения. Докажите, что число пятиугольников разбиения не меньше 13.

Каждое ребро полного графа с 11 вершинами покрашено в один из двух цветов: красный или синий.

Докажите, что либо "красный", либо "синий" граф не является плоским.

Докажите, что в плоском графе есть вершина, степень которой не превосходит 5.

Докажите, что граф, имеющий 10 вершин, степень каждой из которых равна 5, – не плоский.

Можно ли построить три дома, вырыть три колодца и соединить тропинками каждый дом с каждым колодцем так, чтобы тропинки не пересекались?

Докажите, что граф, имеющий пять вершин, каждая из которых соединена ребром со всеми остальными, не является плоским.

Докажите, что для любого плоского графа (в том числе и несвязного) справедливо неравенство  <i>E</i> ≤ 3<i>V</i> – 6.

Докажите, что для плоского связного графа справедливо неравенство  <i>E</i> ≤ 3<i>V</i> – 6.

В квадрате отметили 20 точек и соединили их непересекающимися отрезками друг с другом и с вершинами квадрата так, что квадрат разбился на треугольники. Сколько получилось треугольников?

В стране 100 городов, некоторые из которых соединены авиалиниями. Известно, что от каждого города можно долететь до любого другого (возможно, с пересадками). Докажите, что можно побывать во всех городах, совершив не более  а) 198 перёлетов;  б) 196 перелётов.

Докажите, что в любом связном графе можно удалить вершину вместе со всеми выходящими из нее рёбрами так, чтобы он остался связным.