Олимпиадные задачи из источника «глава 12. Инвариант» для 9 класса - сложность 2 с решениями

Дана некоторая тройка чисел. С любыми двумя из них разрешается проделывать следующее: если эти числа равны <i>a</i> и <i>b</i>, то их можно заменить на   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30779/problem_30779_img_2.gif">  и  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30779/problem_30779_img_3.gif"> .  Можно ли с помощью таких операций получить тройку   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30779/problem_30779_img_4.gif">   из тройки   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30779/problem_30779_img_5.gif">

В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., <i>n</i>. За один ход разрешается поменять местами любые два числа.

Может ли после 1989 таких операций порядок чисел оказаться исходным?

В таблице 8×8 все четыре угловые клетки закрашены чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

Круг разделён на шесть секторов, в каждом из которых стоит фишка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора.

Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?