Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Комбинаторика-2» для 4-7 класса

Имеется куб размером 10×10×10, состоящий из маленьких единичных кубиков. В центре <i>O</i> одного из угловых кубиков сидит кузнечик. Он может прыгать в центр кубика,имеющего общую грань с тем, в котором кузнечик находится в данный момент; причём так, чтобы расстояние до точки <i>O</i> увеличивалось. Сколькими способами кузнечик может допрыгать до кубика, противоположного исходному?

Найдите число прямоугольников, составленных из клеток доски с <i>m</i> горизонталями и <i>n</i> вертикалями, которые содержат клетку с координатами  (<i>p, q</i>).

На каждом борту лодки должно сидеть по четыре человека. Сколькими способами можно выбрать команду для этой лодки, если есть 31 кандидат, причём десять человек хотят сидеть на левом борту лодки, двенадцать – на правом, а девяти безразлично где сидеть?

Ладья стоит на левом поле клетчатой полоски 1×30 и за ход может сдвинуться на любое количество клеток вправо.

  а) Сколькими способами она может добраться до крайнего правого поля?

  б) Сколькими способами она может добраться до крайнего правого поля ровно за семь ходов?

Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в каждой половине было по два туза?

Сколько существует целых чисел от 0 до 999999, в десятичной записи которых нет двух стоящих рядом одинаковых цифр?

а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться).

б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7.

Труппа театра состоит из 20 артистов. Сколькими способами можно выбрать из неё в течение двух вечеров по шестьчеловек для участия в спектаклях так, чтобы ни один артист не участвовал в двух спектаклях?

Сколько различных четырёхзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4,

  а) если каждая цифра может встречаться только один раз?

  б) если каждая цифра может встречаться несколько раз?

Сколькими способами можно построить замкнутую ломаную, вершинами которой являются вершины правильного шестиугольника (ломаная может быть самопересекающейся)?

а) Спортивный клуб насчитывает 30 членов, из которых надо выделить четыре человека для участия в забеге на 1000 метров. Сколькими способами это можно сделать?

б) Сколькими способами можно составить команду из четырёх человек для участия в эстафете  100 м + 200 м + 300 м + 400 м?

Сколько ожерелий можно составить из пяти одинаковых красных бусинок и двух одинаковых синих бусинок?

Сколькими способами можно разрезать ожерелье, состоящее из 30 различных бусин на 8 частей (резать можно только между бусинами)?

План города имеет схему, изображенную на рисунке. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/30710/problem_30710_img_2.gif"></div>На всех улицах введено одностороннее движение: можно ехать только "вправо" или "вверх".

Сколько есть разных маршрутов, ведущих из точки <i>A</i> в точку <i>B</i>.

Человек имеет 10 друзей и в течение нескольких днейприглашает некоторых из них в гости так, что компания ни разу не повторяется (в какой-то из дней он может не приглашать никого). Сколько дней он может так делать?

Как известно, для участия в лотерее "Спортлото" нужно указать шесть номеров из имеющихся на карточке 45 номеров.

  а) Сколькими способами можно заполнить карточку "Спортлото"?

  б) После тиража организаторы лотереи решили подсчитать, каково число возможных вариантов заполнения карточки, при которых могло быть угадано ровно три номера. Помогите им в этом подсчёте.

Человек имеет шесть друзей и в течение пяти дней приглашаетк себе в гости каких-то троих из них так, чтобы компания ни разу не повторялась.

Сколькими способами он может это сделать?

Сколько существует десятизначных чисел, сумма цифр которых равна   а) 2;   б) 3;   в) 4?

Сколько существует шестизначных чисел, у которых по три чётных и нечётных цифры?

Сколькими способами можно выбрать из полной колоды (52 карты) 10 карт так, чтобы

 а) среди них был ровно один туз?

  б) среди них был хотя бы один туз?

а) Сколькими способами можно разбить 15 человек на три команды по пять человек в каждой?

б) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек две команды по пять человек в каждой?

Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 чёрных шашек на чёрных полях шахматной доски?

Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из пяти человек.

Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более трёх юношей?

Сколькими способами можно переставить буквы слова "ЭПИГРАФ" так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке?

В классе, в котором учатся Петя и Ваня – 31 человек. Сколькими способами можно выбрать из класса футбольную команду (11 человек) так, чтобы Петя и Ваня не входили в команду одновременно?