Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Делимость-2» для 10 класса - сложность 2 с решениями

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

Пусть <i>n</i> – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо  <i>n</i>⁸ + 1,  либо  <i>n</i>⁸ – 1  делится на 17.

Пусть <i>p</i> – простое число, и <i>a</i> не делится на <i>p</i>. Докажите, что найдется натуральное число <i>b</i>, для которого  <i>ab</i> ≡ 1 (mod <i>p</i>).

Сумма трёх чисел <i>a, b</i> и <i>c</i> делится на 30. Докажите, что  <i>a</i>⁵ + <i>b</i>⁵ + <i>c</i>⁵  также делится на 30.

Пусть <i>p</i> – простое число. Докажите, что  (<i>a + b</i>)^<i>p</i> ≡ <i>a^p + b^p</i> (mod <i>p</i>)  для любых целых <i>a</i> и <i>b</i>.

Докажите, что число  30²³⁹ + 239³⁰  составное.

Докажите, что  7¹²⁰ – 1  делится на 143.

Найдите остаток от деления 8⁹⁰⁰ на 29.

Докажите, что  300³⁰⁰⁰ – 1  делится на 1001.

Найдите остаток от деления 2¹⁰⁰ на 101.

Решить в целых числах уравнение  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ¹/_<i>c</i> = 1.

Докажите, что  11^<i>n</i>+2 + 12^2<i>n</i>+1  делится на 133 при любом натуральном <i>n</i>.