Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Итерации» для 2-8 класса - сложность 1-2 с решениями
параграф 3. Итерации
НазадРешите уравнение$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+x}}}$=<i>x</i>.
Докажите, что для монотонно возрастающей функции<i>f</i>(<i>x</i>) уравнения<i>x</i>=<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) и<i>x</i>=<i>f</i>(<i>x</i>) равносильны.
Последовательность чисел {<i>a</i><sub>n</sub>} задана условиями<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>n + 1</sub> = <i>a</i><sub>n</sub> + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$ (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Верно ли, что эта последовательность ограничена?
Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит<i>итерационная ломаная</i>. Для ее построения на плоскости<i>Oxy</i>рисуется график функции<i>f(x)</i>и проводится биссектриса координатного угла — прямая<i>y</i>=<i>x</i>. Затем на графике функции отмечаются точки<i>A<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,f(x<sub>0</sub>))</i>,<i>A<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>,f(x<sub>1</sub>))</i>,...,<i>A<sub>n</sub>(x<sub>n</sub>,f(x<sub>n</sub>))</i>,... а на биссектрисе координатного угла — точки<i>B<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,x<sub>0</sub>)</i>,<i>B<...