Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Разложение на множители» для 8 класса - сложность 2 с решениями
параграф 3. Разложение на множители
НазадВыведите из теоремы <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161013">161013</a> то, что <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61014/problem_61014_img_2.gif"> – иррациональное число.
Докажите, что если (<i>p, q</i>) = 1 и <sup><i>p</i></sup>/<sub><i>q</i></sub> – рациональный корень многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a<sub>n</sub>x<sup>n</sup></i> + ... + <i>a</i><sub>1</sub><i>x + a</i><sub>0</sub> с целыми коэффициентами, то
а) <i>a</i><sub>0</sub> делится на <i>p</i>;
б) <i>a<sub>n</sub></i> делится на <i>q</i>.
Докажите, что если <i>a + b + c</i> = 0, то 2(<i>a</i><sup>5</sup> + <i>b</i><sup>5</sup> + <i>c</i><sup>5</sup>) = 5<i>abc</i>(<i>a</i><sup>2</sup> + <i>b</i><sup>2</sup> + <i>c</i><sup>2</sup>).
Докажите, что если три числа <i>a, b, c</i> связаны соотношением <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>c</i></sub> = <sup>1</sup>/<sub><i>a+b+c</i></sub>, то какие-либо два из этих чисел в сумме дают 0.
Пусть <i>a, b, c</i> — попарно различные числа. Докажите, что выражение <i>a</i><sup>2</sup>(<i>c – b</i>) + <i>b</i><sup>2</sup>(<i>a – c</i>) + <i>c</i><sup>2</sup>(<i>b – a</i>) не равно нулю.
Упростите выражение: <img width="190" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61008/problem_61008_img_2.gif">.
Докажите, что многочлен <i>x</i><sup>4</sup> + <i>px</i><sup>2</sup> + <i>q</i> всегда можно разложить в произведение двух многочленов второй степени.