Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Разложение на множители» для 6-10 класса - сложность 3 с решениями

Решите уравнения:

   a)  <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ – 3<i>a</i>²<i>x</i>² – 2<i>a</i>²<i>x</i> + 2<i>a</i>⁴ = 0;

   б)  <i>x</i>³ – 3<i>x</i> = <i>a</i>³ + <i>a</i>^–3.

Найдите рациональные корни многочленов:

  а)  <i>x</i>⁵ – 2<i>x</i>⁴ – 4<i>x</i>³ + 4<i>x</i>² – 5<i>x</i> + 6;

  б)  <i>x</i>⁵ + <i>x</i>⁴ – 6<i>x</i>³ – 14<i>x</i>² – 11<i>x</i> – 3.

Докажите, чтоcos 20^<tt>o</tt> — число иррациональное.

Докажите, что при нечетном <i>m</i> выражение  (<i>x + y + z</i>)^<i>m</i> – <i>x^m – y^m – z^m</i>  делится на  (<i>x + y + z</i>)³ – <i>x</i>³ – <i>y</i>³ – <i>z</i>³.

Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен  <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> + 12?

Разложите на множители с действительными коэффициентами многочлены:

<table> <tr><td align="LEFT">а) <i>x</i>⁴ + 4;</td> <td align="LEFT"> ж) (<i>a</i> + <i>b</i> + <i>c</i>)³ – <i>a</i>³ – <i>b</i>³ – <i>c</i>³;</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) 2<i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> – 1;</td> <td align="LEFT">з) (<i>x</i> – <i>y</i>)⁵ + (<i>y</i> - <...