Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Арифметика остатков» для 3-7 класса - сложность 1 с решениями
Из шахматной доски вырезали две клетки – a1 и h8. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть 31 косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски?
Докажите, что если <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>) и <i>c ≡ d</i> (mod <i>m</i>), то
а) <i>a + c ≡ b + d</i> (mod <i>m</i>); б) <i>ac ≡ bd</i> (mod <i>m</i>).
Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3<i>n</i> одинаковых цифр, делится на 37.
Можно ли множество всех натуральных чисел, больших 1, разбить на два непустых подмножества так, чтобы для каждых двух чисел <i>a</i> и <i>b</i> из одного множества число <i>ab</i> – 1 принадлежало другому?
Пусть <i>m</i> и <i>n</i> – целые числа. Докажите, что <i>mn</i>(<i>m + n</i>) – чётное число.
Можно ли так расставить знаки "+" или "–" между каждыми двумя соседними цифрами числа 123456789, чтобы полученное выражение равнялось нулю?
а) Докажите, что <i>p</i>² – 1 делится на 24, если <i>p</i> – простое число и <i>p</i> > 3.
б) Докажите, что <i>p</i>² – <i>q</i>² делится на 24, если <i>p</i> и <i>q</i> – простые числа, большие 3.
Все костяшки домино выложили в цепь. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?