Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики» для 5-6 класса - сложность 1-4 с решениями

Пусть α – действительное положительное число, <i>d</i> – натуральное.

Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на <i>d</i>, равно  [^α/_<i>d</i>].

Верно ли, что многочлен  <i>P</i>(<i>n</i>) = <i>n</i>² + <i>n</i> + 41  при всех <i>n</i> принимает только простые значения?

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> найдутся <i>n</i> подряд идущих натуральных чисел, среди которых ровно одно простое.

Докажите, что существуют 1000 подряд идущих составных чисел.

Разложите на простые множители числа 111, 1111, 11111, 111111, 1111111.

Когда натуральное число имеет нечётное количество делителей?