Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Размещения, перестановки и сочетания» для 6-7 класса

Докажите, что для любого натурального <i>a</i> найдётся такое натуральное <i>n</i>, что все числа  <i>n</i> + 1,  <i>nⁿ</i> + 1,  <i>n^nⁿ</i> + 1,  ...  делятся на <i>a</i>.

На плоскости дано <i>n</i> точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?

Из класса, в котором учатся 28 человек, назначаются на дежурcтво в столовую 4 человека.   а) Сколькими способами это можно сделать?   б) Сколько существует способов набрать команду дежурных, в которую попадёт ученик этого класса Коля Васин?

Сколькими способами можно выбрать четырёх человек на четыре различные должности, если имеется девять кандидатов на эти должности?

а) Сколькими способами 28 учеников могут выстроиться в очередь в столовую?

б) Как изменится это число, если Петю Иванова и Колю Васина нельзя ставить друг за другом?

Семнадцать девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?

В пассажирском поезде 17 вагонов.

Сколькими способами можно распределить по вагонам 17 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?

а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться).

б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7.

Сколькими способами можно поставить 8 ладей на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?