Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Рекуррентные последовательности» для 2-11 класса - сложность 2 с решениями
параграф 2. Рекуррентные последовательности
НазадПусть характеристическое уравнение (<a href="https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=">11.3</a>) последовательности (<a href="https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=">11.2</a>) имеет комплексные корни<i>x</i><sub>1, 2</sub>=<i>a</i>±<i>ib</i>=<i>re</i><sup>±i$\scriptstyle \varphi$</sup>. Докажите, что для некоторой пары чисел<i>c</i><sub>1</sub>,<i>c</i><sub>2</sub>будет выполняться равенство<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>n</sub> = <i>r</i><sup>n</sup>(<i>c</i><sub>1</sub>cos <i>n</i>$\displaystyle \var...
Найдите у чисел а) (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_2.gif">)<sup>1999</sup>; б) (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_3.gif">)<sup>1999</sup>; в) (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_3.gif">)<sup>2000</sup> первые 1000 знаков после запятой.
Докажите, что для любого числа<i>p</i>> 2 найдется такое число$\beta$, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+ \sqrt{2+p}}}}}{n~\mbox{\scriptsize {радикалов}}}^{},$ = $\displaystyle \beta^{2^n}{}$ - $\displaystyle \beta^{-2^n}_{}$. </div>
Лягушка прыгает по вершинам треугольника <i>ABC</i>, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин.
Сколькими способами она может попасть из <i>A</i> в <i>A</i> за <i>n</i> прыжков?
Докажите, что произвольная последовательность<i>Q</i><sub>n</sub>, заданная условиями<div align="CENTER"> <i>Q</i><sub>0</sub> = $\displaystyle \alpha$, <i>Q</i><sub>1</sub> = $\displaystyle \beta$, <i>Q</i><sub>n + 2</sub> = <i>Q</i><sub>n + 1</sub> + <i>Q</i><sub>n</sub> (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0), </div>может быть выражена через числа Фибоначчи<i>F</i><sub>n</sub>и числа Люка<i>L</i><sub>n</sub>(определение чисел Люка смотри в задаче<a href="https://mirolimp.ru/tasks/160585">3.133</a>).
Докажите, что уравнение (<i>x + y</i><img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif">)<sup>4</sup> + (<i>z + t</i><img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif">)<sup>4</sup> = 2 + <img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif"> не имеет решений в рациональных числах.
Пусть характеристическое уравнение (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.3</a>) последовательности {<i>a</i><sub>n</sub>} имеет корень<i>x</i><sub>0</sub>кратности 2. Докажите, что при фиксированных<i>a</i><sub>0</sub>,<i>a</i><sub>1</sub>существует ровно одна пара чисел<i>c</i><sub>1</sub>,<i>c</i><sub>2</sub>такая, что<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>n</sub> = (<i>c</i><sub>1</sub> + <i>c</i><sub>2</sub><i>n</i>)<i>x</i><sub>0</sub><sup>n</sup> (<i>n</i> = 0, 1,...
Пусть характеристическое уравнение (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.3</a>) последовательности {<i>a</i><sub>n</sub>} имеет два различных корня<i>x</i><sub>1</sub>и<i>x</i><sub>2</sub>. Докажите, что при фиксированных<i>a</i><sub>0</sub>,<i>a</i><sub>1</sub>существует ровно одна пара чисел<i>c</i><sub>1</sub>,<i>c</i><sub>2</sub>такая, что<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>n</sub> = <i>c</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>1</sub><sup>n</sup> + <i>c</i><sub>2</sub><i>x<...