Олимпиадные задачи из источника «глава 1. Метод математической индукции» для 4-7 класса - сложность 1 с решениями

Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2<i>n</i>– 1) =<i>n</i>².

Число<i>x</i>таково, что число<i>x</i>+${\dfrac{1}{x}}$ — целое. Докажите, что при любом натуральном<i>n</i>число<i>x</i>ⁿ+${\frac{1}{x^n}}$также является целым.

Докажите, что если <i>a</i> и <i>b</i> – целые числа и  <i>b</i> ≠ 0,  то существует единственная пара чисел <i>q</i> и <i>r</i>, для которой  <i>a = bq + r</i>,  0 ≤ <i>r < |b</i>|.

Несколько прямых делят плоскость на части. Докажите, что эти части можно раскрасить в 2 цвета так, что граничащие части будут иметь разный цвет.

Доказать, что  <i>n</i>³ + 5<i>n</i>  делится на 6 при любом целом <i>n</i>.