Олимпиадные задачи по теме «Вспомогательная раскраска» для 1-8 класса - сложность 5 с решениями

<i>Триангуляцией</i>многоугольника называют его разбиение на треугольники, обладающее тем свойством, что эти треугольники либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек (т. е. вершина одного треугольника не может лежать на стороне другого). Докажите, что треугольники триангуляции можно раскрасить в три цвета так, что имеющие общую сторону треугольники будут разного цвета.

Правильный треугольник разбит на <i>n</i>²одинаковых правильных треугольников (рис.). Часть из них занумерована числами1, 2,...,<i>m</i>, причем треугольники с последовательными номерами имеют смежные стороны. Докажите, что<i>m</i>$\le$<i>n</i>²-<i>n</i>+ 1.